حساب های اولیه حساب: حساب دیفرانسیل و چند متغیره برای علوم اجتماعی

قبل از شروع کار برای مشتق یک عملکرد ، بیایید برخی از اصطلاحات و مفاهیم را مرور کنیم. به یاد داشته باشید که شیب یک خط به عنوان مقدار تفاوت در مقادیر y و تفاوت در مقادیر X تعریف شده است. از بخش 1. 2 به یاد بیاورید که تفاوت بین دو مقدار اغلب توسط نماد یونانی ( دلتا ) مشخص می شود - "دلتا" را همانطور که در آینده نشان داده شده است ، بخوانید ، جایی که هنگام محاسبه و تفسیر شیب یک خط استفاده می شود.

محاسبه و تفسیر شیب یک خط.

فرض کنید به ما دو نقطه ( چپ (x_ ، y_ راست) ) و ( سمت چپ (x_ ، y_ راست) ) در خط یک عملکرد خطی (y = f (x) متن داده می شود.<.>) سپس شیب خط توسط محاسبه می شود

ما می توانیم این معادله را با گفتن اینكه شیب (m ) تغییر در (y ) در هر واحد تغییر در (x text را اندازه گیری می كند ، تفسیر كنیم.<.>) به عبارت دیگر ، شیب (m ) a.

به عنوان مثال ، اگر (y = 100x + 5 text ) یک تغییر کوچک در (x ) با تغییر صد برابر بزرگ در (y text ) مطابقت دارد ، بنابراین (y ) کاملاً حساس استبرای تغییر در (متن x <.>)

در مرحله بعد ، ما خواص دو خط خاص را معرفی می کنیم ، که برای درک یک مشتق مناسب هستند.

خط Secant

Secant یک کلمه لاتین به معنای برش است ، و در ریاضیات یک خط Secant یک منحنی دلخواه را که توسط (y = f (x) ) توصیف شده است از طریق دو نقطه (p ) و (q text برش می دهد.<.>) شکل به ترتیب دو خط از چنین خطی از منحنی (f ) را به سمت راست و سمت چپ نقطه (p text ) نشان می دهد.

از آنجا که به ضرورت ، خط Secant از دو نقطه روی منحنی (y = f (x) text ) عبور می کند ، می توانیم به راحتی شیب این خط Secant را محاسبه کنیم.

تعریف 4. 1. شیب خط Secant - میانگین نرخ تغییر.

فرض کنید به ما دو نقطه ( سمت چپ (x_ ، y_ راست) ) و ( سمت چپ (x_ ، y_ راست) ) در خط secant منحنی شرح داده شده توسط عملکرد (y = f ((y = f (y = f) داده می شود. x) ) همانطور که نشان داده شده است. سپس شیب خط Secant توسط محاسبه می شود

توجه داشته باشید که ممکن است ما نیز به طور مستقیم به عنوان ( delta x text ) تغییر در (x ) داده شود. ( سمت چپ (x + delta x ، f (x + delta x) راست) text ) و بنابراین

در شکل فوق ، مقدار ( delta x ) باید منفی باشد زیرا در سمت چپ (متن x <.>)

شیب خط Secant همچنین به عنوان (f ) در فاصله زمانی ( سمت چپ [x ، x+ delta x راست] متن گفته می شود.<.>)

عبارت ( dfrac) به عنوان.

خط مماس.

Tangent یک کلمه لاتین به معنای لمس کردن است ، و در ریاضیات یک منحنی دلخواه را که توسط (y = f (x) ) توصیف شده است ، در یک نقطه (p ) لمس می کند ، اما هیچ نقطه دیگری در این نزدیکی نیست.

از آنجا که با تعریف ، خط مماس فقط یک نقطه را روی منحنی (y = f (x) text ) لمس می کند ، ما نمی توانیم شیب این خط مماس را با فرمول شیب خود برای یک خط محاسبه کنیم. در حقیقت ، تاکنون ، ما هیچ راهی برای محاسبه این شیب نداریم مگر اینکه بتوانیم از هندسه استفاده کنیم.

فرض کنید که (y ) تابعی از (x text ) است (y = f (x) متن<.>) از آنجا که اغلب مفید است بدانید که مقدار (y ) چقدر حساس به تغییرات کوچک در (x text ) است ، بیایید این مفهوم را از طریق یک مثال بررسی کنیم و ببینیم که چگونه این امر ما را در مورد محاسبه آگاه می کندشیب خط مماس.

مثال 4. 2. تغییرات کوچک در (x ).

( ds y = f (x) = sqrt ) را در نظر بگیرید (نیم دایره بالایی شعاع 25 با محوریت مبدا) ، و بیایید تغییرات (y ) را که ناشی از تغییرات کوچک (x ) است محاسبه کنیم. اطراف (x = 7 متن<.>)

وقتی (x = 7 متن ) می فهمیم که ( ds y = sqrt = 24 متن<.>) فرض کنید ما می خواهیم بدانیم که وقتی (x ) کمی افزایش می یابد ، چقدر تغییر می کند ، به 7. 1 یا 7. 01 می گویند.

بگذارید نسبت ( delta y/ delta x ) را برای عملکرد خود بررسی کنیم ( ds y = f (x) = sqrt ) وقتی (x ) از 7 به (7. 1 متن تغییر می کند.<.>) در اینجا ( delta x = 7. 1-7 = 0. 1 ) تغییر در (x text ) و

شروع delta y = f (x+ delta x) -f (x) amp = f (7. 1) -f (7) \ amp = sqrt- sqrt \ amp تقریبی 23. 9706-24 =-0. 0294 متن<.>پایان

بنابراین ، ( Delta y/ Delta x تقریب ا-0. 0294/0. 1 = -0. 294 متن<.>) این بدان معنی است که (y ) با کمتر از یک سوم تغییر می کند. 7 متن<.>) ما در اینجا "ظاهراً" می گوییم زیرا ما واقعاً نمی دانیم چه اتفاقی می افتد بین 7 و ارزش در (متن 7 <.>) این در واقع برای این عملکرد خاص موردی نیست ، اما ما هنوز نمی دانیم چرا.

مقدار ( delta y/ delta x تقریباً -0. 294 ) ممکن است به عنوان شیب خط Secant از طریق ((7،24) ) و ((7. 1،23. 9706) متن تفسیر شود.<.>) به طور کلی ، اگر خط Secant را از نقطه ((7،24) ) به یک نقطه در نزدیکی روی نیم دایره ((7+ Delta x ، ، F (7+ Delta x)) ترسیم کنیم. text ) شیب این خط Secant به اصطلاح است

به عنوان مثال ، اگر (x ) فقط از 7 به 7. 01 تغییر کند ، آنگاه تفاوت (شیب خط Secant) تقریباً برابر با ((23. 997081-24) /0. 01=-0. 2919TEXTEXT است.<.>) این کمی متفاوت از خط Secant از ((7،24)) تا ((7. 1،23. 9706) متن است<.>)

همانطور که ( Delta x ) کوچکتر ساخته شده است (نزدیک به 0) ، (7+ Delta x ) به 7 نزدیکتر می شود و خط Secant به پیوستن ((7 ، F (7)) ) به ((7+ Delta X ، F (7+ Delta x)) ) همانطور که در شکل 4. 1 نشان داده شده است ، کمی تغییر می کند. خط Secant در نقطه ((7،24) متن به دایره نزدیکتر و نزدیکتر می شود<.>) (خط مماس خطی است که فقط دایره را در آن نقطه چرای می کند ، یعنی در هر نقطه دوم دایره را برآورده نمی کند.) بنابراین ، به عنوان ( delta x ) شیب کوچکتر و کوچکتر می شود. ( Delta y/ Delta x ) از خط Secant به شیب خط مماس نزدیکتر و نزدیکتر می شود. این در واقع بسیار دشوار است که ببینیم چه زمانی ( delta x ) به دلیل مقیاس نمودار کوچک است. مقادیر ( delta x ) مورد استفاده برای شکل (1 text ) (5 text ) (10 ) و (15 text ) واقعاً مقادیر خیلی کمی نیستند. خط مماس همان چیزی است که در قسمت انتهایی سمت راست بالاترین است.

تاکنون دامنه های دو خط محکم را پیدا کرده ایم که باید نزدیک به شیب خط مماس باشند ، اما شیب خط مماس دقیقاً چیست؟از آنجا که خط مماس فقط در یک نقطه دایره را لمس می کند ، ما هرگز نمی توانیم شیب آن را مستقیماً محاسبه کنیم ، با استفاده از دو نقطه "شناخته شده" در خط. آنچه ما نیاز داریم راهی برای گرفتن آنچه در دامنه خطوط Secant اتفاق می افتد ، با نزدیکتر و نزدیک تر به خط مماس است.

به جای اینکه به مقادیر خاص تر ( delta x text ) نگاه کنیم ، بیایید ببینیم چه اتفاقی می افتد اگر برخی از جبر را با استفاده از تفاوت با استفاده از فقط ( delta x text انجام دهیم.<.>) شیب یک خط secant از ((7،24) ) به یک نقطه در نزدیکی ( سمت چپ (7+ Delta x ، f (7+ delta x) راست) )

حال ، آیا می توانیم با دیدن این فرمول آخر بگوییم چه اتفاقی می افتد وقتی ( دلتا x ) بسیار نزدیک به صفر می شود؟شمارنده به وضوح بسیار نزدیک به (-14 ) می شود در حالی که مخرج بسیار نزدیک به ( ds sqrt+24 = 48 متن می شود<.>) بنابراین کسری بسیار نزدیک به ( -14/48 = -7/24 CO N-0. 29167 متن است<.>) در واقع ، شیب خط مماس دقیقاً (-7/24 متن است<.>)

در مورد شیب خط مماس در (x = 12 text ) خوب ، 12 نمی تواند با 7 متفاوت باشد. ما فقط باید محاسبه را با 12 به جای 7 دوباره انجام دهیم. این کار سختی نخواهد بود ، اما کمی خسته کننده خواهد بود. چه می شود اگر سعی کنیم تمام جبر را بدون استفاده از یک مقدار خاص برای (x text ) انجام دهیم ، بیایید از بالا کپی کنیم ، جایگزین 7 توسط (x text<.>)

حالا چه اتفاقی می افتد که ( دلتا x ) بسیار نزدیک به صفر است؟باز هم به نظر می رسد که مقدار بسیار نزدیک به آن نزدیک خواهد شد

جایگزینی (x ) توسط 7 مانند گذشته به (-7/24 متن ) می دهد ، و اکنون می توانیم به راحتی محاسبات را برای 12 یا هر مقدار دیگر از (x ) بین (-25 ) انجام دهیم. 25

So now we have a single expression, (ds dfrac> متن ) که شیب خط مماس را برای هر مقدار (متن x به ما می گوید<.>) این شیب ، به نوبه خود ، به ما می گوید که مقدار (y ) چقدر حساس به تغییرات کوچک در مقدار (x text است<.>)

به طور خلاصه ، ما در یک نقطه (p = سمت چپ (x ، f (x) راست) ) را بر روی منحنی یک تابع (y = f (x) ) محاسبه کردیم. چه اتفاقی می افتد وقتی ( Delta x ) بسیار نزدیک به (0 متن می شود<.>) در این مرحله ، باید توجه داشته باشیم که ایده اجازه نزدیکتر و نزدیک شدن به (0 ) دقیقاً ایده محدودیتی است که در فصل آخر در مورد آن صحبت کردیم. این ما را به تعریف زیر سوق می دهد.

تعریف 4. 3. شیب خط مماس - نرخ ثابت تغییر.

شیب خط مماس به نمودار یک تابع (y = f (x) ) در نقطه (p = سمت چپ (x ، f (x) راست) ) توسط

مشروط بر اینکه این حد وجود داشته باشد.

The expression(ds dfrac>) تابع جدیدی به نام (بخش 4. 2) عملکرد اصلی را تعریف می کند (از آنجا که از عملکرد اصلی گرفته شده است). اگر اصلی به عنوان (f ) یا (y ) گفته شود ، مشتق اغلب به صورت (f ') یا (y' text ) نوشته می شود "f prime" یا "y prime" را بخوانیدبشرما هم می نویسیم

در یک نقطه خاص ، بگویید (x = 7 text ) ما می نویسیم (f '(7) =-7/24 ) و می گوییم که " (f ) نخست از 7 است (-7/24 ) "یا" مشتق (f ) در 7 است (-7/24 متن<.>)”

در مورد خاص یک دایره ، یک روش ساده برای یافتن مشتق وجود دارد. از آنجا که مماس به یک دایره در یک نقطه عمود بر شعاع کشیده شده به نقطه تماس است ، شیب آن متقابل منفی شیب شعاع است. شعاع پیوستن ((0،0) ) به ((7،24) ) دارای شیب 24/7 است. از این رو ، خط مماس شیب (-7/24 متن<.>) به طور کلی ، شعاعی به نقطه ( ds (x ، sqrt) ) دارای شیب ( ds sqrt/x text ) است بنابراین شیب خط مماس ( dss است.<-x/ sqrt> متن ) مانند قبل. همیشه درست نیست که یک خط مماس عمود بر یک خط از مبدا است - از این میانبر در هر شرایط دیگری استفاده نکنید.

اکنون یافته های خود را خلاصه می کنیم.

از شیب خط مماس تا مشتق.

با توجه به یک تابع (f ) و یک نقطه (x ) می توانیم مشتق (f (x) ) را در (x ) محاسبه کنیم:

تفاوت otient ( dfrac text ) که شیب یک خط ساکنان کلی منحنی است (f ) از طریق نقاط (p = سمت چپ (x ، f (x) راست) ) و (q = سمت چپ (سمت چپ (q = سمت چپ (x+ delta x ، f (x+ delta x) راست) متن<.>)

محدودیت ها را بگیرید زیرا ( delta x ) به صفر می رود: ( lim limits_ dfrac text ) که شیب خط مماس منحنی (f ) در نقطه (p = سمت چپ (x ، f (x) راست) متن است<.>)

اگر این حد وجود داشته باشد ، مشتق وجود دارد و با این حد برابر است.

محدودیت وجود دارد.

از کشویی های زیر برای بررسی حد خطوط secant (آبی و سبز) استفاده کنید زیرا آنها به خط مماس (قرمز) به هر نقطه (P ) در نمودار نزدیک می شوند:

زیرمجموعه 4. 1. 1 برنامه های کاربردی

ما این بخش را با گفتن این بخش شروع کردیم ، "اغلب مفید است که بدانیم مقدار (y ) برای تغییرات کوچک در (x text چقدر حساس است.<.>) "ما یک نمونه کاملاً ریاضی از این را مشاهده کرده ایم که شامل عملکرد (f (x) = sqrt متن است<.>) در اینجا چند نمونه کاربردی دیگر آورده شده است.

با اندازه گیری دقیق ممکن است کشف شود که ارتفاع یک توپ افتاده (t ) ثانیه پس از آزاد شدن ، ( ds h (t) = h_0-kt^2 متن است<.>) (در اینجا (H_0 ) ارتفاع اولیه توپ است ، هنگامی که (t = 0 text ) و (k ) عددی است که توسط آزمایش تعیین می شود.) یک سوال طبیعی است ، "چگونهسریع توپ به موقع می رود (t text ) "ما مطمئناً می توانیم با یک حسابی کمی ساده ایده خوبی بدست آوریم.

مثال 4. 4. تجزیه و تحلیل سرعت.

فرض کنید که ارتفاع (h ) در متر یک توپ افتاده (t ) ثانیه پس از انتشار

با (h_ = 100 ) m و (k = 4. 9 متن<.>) ما با بررسی سرعت متوسط در نزدیکی زمان (t = 2 ) و بحث در مورد تفاوت بین سرعت و سرعت ، به سؤال "سرعت سفر در زمان (t = 2 text )" پاسخ خواهیم داد.

ما می دانیم که وقتی (t = 2 ) ارتفاع (100-4 cdot 4. 9 = 80. 4 ) است. ثانیه بعد ، در (t = 3 متن ) ارتفاع (100-9 cdot 4. 9 = 55. 9 ) است. تغییر ارتفاع در طی آن دوم متر (55. 9-80. 4 = -24. 5 ) است. علامت منفی به این معنی است که ارتفاع کاهش یافته است ، همانطور که انتظار داریم توپ در حال سقوط باشد و تعداد 24. 5 میانگین سرعت توپ در فاصله زمانی ، در متر در ثانیه است.

ممکن است حدس بزنیم که 24. 5 متر در ثانیه تخمین وحشتناکی از سرعت در (t = 2 text ) نیست اما مطمئناً می توانیم بهتر عمل کنیم. در (t = 2. 5 ) ارتفاع ( ds 100-4. 9 (2. 5)^2 = 69. 375 ) است. در طول نیم ثانیه از (t = 2 ) تا (t = 2. 5 text ) تغییر ارتفاع (69. 375-80. 4 = -11. 025 ) است که سرعت متوسط (11. 025/(1/2) = 22. 05 ) متر در ثانیه. این باید تخمین بهتری از سرعت در باشد (متن t = 2 <.>) بنابراین اکنون مشخص است که چگونه می توان تقریب های بهتر و بهتر را بدست آورد: سرعت متوسط را در فواصل زمانی کوتاه تر و کوتاه تر محاسبه کنید. به عنوان مثال ، بین (t = 2 ) و (t = 2. 01 متن) ، توپ 0. 19649 متر در یک صدم ثانیه ، با سرعت متوسط 19. 649 متر در ثانیه کاهش می یابد.

ما هنوز به طور منطقی ممکن است سرعت دقیق را در (t = 2 ) (سرعت آنی) به جای تقریب آن بخواهیم. برای این ، یک بار دیگر ، ما به حد نیاز داریم. بیایید میانگین سرعت را در فاصله زمانی از (t = 2 ) تا (t = 2+ delta t ) محاسبه کنیم بدون اینکه یک مقدار خاص برای ( delta t text) مشخص کنیم<.>) تغییر ارتفاع در فاصله زمانی از (t = 2 ) به (t = 2+ delta t ) است

شروع H (2+ Delta t) -h (2) amp = (100-4. 9 (2+ Delta t)^2) -80. 4 \ amp = 100-4. 9 (4+4 Delta t+ Delta t^2) -80. 4 \ amp = 100-19. 6-19=- Delta T (19. 6+4. 9 Delta t) End

متوسط سرعت در این بازه زمانی است

وقتی ( دلتا t ) بسیار ناچیز است ، این بسیار نزدیک به 19. 6 است. در واقع ، ( lim limits_ سمت چپ (19. 6+4. 9 دلتا t راست) = 19. 6 متن<.>) بنابراین سرعت دقیق در (t = 2 ) 19. 6 متر در ثانیه است.

در این مرحله باید بین سرعت و سرعت تمایز قائل شویم. سرعت امضا می شود ، یعنی سرعت با جهت مشخص شده توسط یک علامت (مثبت یا منفی). جبر ما در بالا در واقع به ما گفت که سرعت فوری توپ در (t = 2 ) متر در ثانیه (-19. 6 ) است. شماره 19. 6 سرعت است و علامت منفی نشان می دهد که حرکت به سمت پایین هدایت می شود (جهت کاهش ارتفاع).

به زبان بخش قبلی ، ما ممکن است با ( ds f (x) = 100-4. 9x^2 ) شروع کرده و شیب خط مماس را در (x = 2 متن خواسته است<.>) ما با محاسبات به این سؤال پاسخ می دادیم

جبر همان است. بنابراین ، سرعت توپ مقدار مشتق یک عملکرد خاص ، یعنی عملکردی است که موقعیت توپ را می دهد.

نکته مهم این است که این مشکل ، پیدا کردن سرعت توپ ، دقیقاً همان مشکل ریاضی است که پیدا کردن شیب یک منحنی است. این ممکن است در حال حاضر شواهد کافی برای متقاعد کردن شما باشد که هر وقت مقداری تغییر می کند (ارتفاع منحنی یا ارتفاع یک توپ یا اندازه اقتصاد یا فاصله یک کاوشگر فضایی از زمین یا جمعیت جهان)نرخ تغییر مقدار در آن ، در اصل می تواند با پیدا کردن یک مشتق ، دقیقاً به همان روش محاسبه شود.

مثال 4. 5. تقاضا برای ژاکت ها.

یک تولید کننده لباس مشخص کرده است که عملکرد تقاضای هفتگی ژاکت های آنها توسط

جایی که (p ) به دلار اندازه گیری می شود و (q ) در واحدهای هزار اندازه گیری می شود. اگر مقدار مورد نیاز بین ژاکت های (5000 ) و (6000 ) ژاکت ، بین (5000 ) و (5100 ) ژاکت ها ، بین (5000 ) و (5100 ) ، و بین (بین (5000 ) یا (5000 (5100 ) تغییر می یابد (5000 ) و (5010 ) ژاکت. نرخ لحظه ای تغییر قیمت واحد هنگامی که مقدار مورد نیاز واحد (5000 ) است چقدر است؟

اگر مقدار مورد نیاز بین (q ) و (q + delta q ) باشد ، میانگین نرخ تغییر قیمت یک ژاکت است.

برای یافتن میانگین نرخ تغییر قیمت واحد ژاکت در هنگام مقدار مورد نیاز بین ژاکت های (5000 ) و (6000 ) (یعنی در فاصله زمانی ( سمت چپ [5،6 درست])) ، ما (q = 5 ) و ( delta q = 1 متن ) را می گیریم

یا -$ (11 ) در هر (1000 ) ژاکت. به همین ترتیب ، با استفاده از ( delta q = 0. 1 ) و ( delta q = 0. 01 ) با (q = 5 text ) می فهمیم که میانگین نرخ تغییر قیمت واحد وقتی مقادیر خواسته شده بین آنها باشد (5000 ) و (5100 ) و بین (5000 ) و (5010 ) به ترتیب -$ (10. 10 ) و -$ (10. 01 ) در هر (1000 ) ژاکت هستند.

نرخ لحظه ای تغییر قیمت واحد ژاکت در هنگام مقدار مورد نیاز واحدهای (q ) توسط واحد داده می شود

به طور خاص ، سرعت آنی تغییر در هنگام مقدار مورد نیاز ژاکت های (5000 ) است

یا -$ (10 ) در هر (1000 ) ژاکت.

تمرینات برای بخش 4. 1.

تمرین 4. 1. 1.

نمودار عملکرد ( ds y = f (x) = sqrt ) را بین (x = 0 ) و (x = 13 متن بکشید.<.>) شیب ( delta y/ delta x ) خط secant را بین نقاط دایره که روی آن قرار دارد (a) (x = 12 ) و (x = 13 text ) پیدا کنید.) (x = 12 ) و (x = 12. 1 text ) (c) (x = 12 ) و (x = 12. 01 text ) (d) (x = 12 ) و (x = 12. 001 متن<.>) اکنون از هندسه خطوط مماس بر روی یک دایره استفاده کنید تا (ه) مقدار دقیق مشتق (f '(12) متن را پیدا کنید<.>) پاسخ شما به (الف) - (د) باید به پاسخ شما به (ه) نزدیکتر و نزدیکتر شود.

نمودار (y = f (x) = sqrt ) نیمه دایره ای از شعاع است.

ما می خواهیم ابتدا با استفاده از خطوط Secant ، (f '(12) ) را تخمین بزنیم. بنابراین ، ما تفاوت را در (x = 12 متن ) تنظیم کردیم

شیب خط secant بین (x = 12 ) و (x = 13 ) ( ( delta x = 1 )) توسط

شیب خط secant بین (x = 12 ) و (x = 12. 1 ) ( ( delta x = 0. 1 )) توسط

شیب خط secant بین (x = 12 ) و (x = 12. 01 ) ( ( delta x = 0. 01 )) توسط

خاصیت حلقه ها این است که خط مماس در هر نقطه روی دایره عمود است خطی که آن نقطه را به مرکز دایره متصل می کند (در این حالت ، مبدا):

از این رو ، شیب خط مماس در (x = 12 ) باید باشد

ما بیشتر متوجه می شویم که پاسخ های ما به قطعات (الف)-(د) به این مقدار نزدیکتر و نزدیکتر می شوند. از این رو ، (f '(12) = 2. 4 متن<.>)

تمرین 4. 1. 2.

از هندسه برای یافتن مشتق (f '(x) ) از عملکرد ( ds f (x) = sqrt ) در متن برای هر یک از موارد زیر (x text ) استفاده کنید.، (ب) 24 ، (ج) (-7 متن ) (د) (-15 متن<.>) نمودار از نیم دایره فوقانی را بکشید و خط مماس را در هر یک از این چهار نقطه بکشید.

نمودار (y = f (x) = sqrt ) نیمه دایره ای از شعاع 25 است. ما در فاصله ([-25،25] متن نقشه (f (x) ) را ترسیم می کنیم.)

ما از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که خط مماس در هر نقطه روی دایره عمود است خطی که آن نقطه را به مرکز دایره متصل می کند. برای هر نقطه ((x ، y) = (x ، sqrt) text ) شیب خط اتصال مبدا به نقطه توسط

و بنابراین شیب خط مماس در این مرحله باید متقابل این مقدار باشد:

در (x = 20 متن ) ما داریم

در (x = 24 متن ) ما داریم

در (x = -7 متن ) ما داریم

در (x = -15 متن ) ما داریم

ما با نمودار زیر نشان می دهیم.

تمرین 4. 1. 3.

نمودار عملکرد (y = f (x) = 1/x ) را بین (x = 1/2 ) و (x = 4 متن بکشید.<.>) شیب خط secant را بین (a) (x = 3 ) و (x = 3. 1 text ) (b) (x = 3 ) و (x = 3. 01 متن ) پیدا کنید.(ج) (x = 3 ) و (x = 3. 001 متن<.>) اکنون از جبر استفاده کنید تا یک فرمول ساده برای شیب خط secant بین ((3 ، f (3))) و ((3+ دلتا x ، f (3+ دلتا x)) پیدا کنید. متن<.>) تعیین کنید که چه اتفاقی می افتد وقتی ( delta x ) نزدیک می شود. شیب این مقدار محدود کننده تفاوت تفاوت به عنوان ( Delta x ) 0 است.

ما نمودار (y = f (x) = 1/x ) را روی فاصله ([0. 5،4] ) در زیر ترسیم می کنیم.

ما ابتدا تفاوت تفاوت را در (x = 3 text ) می سازیم

ما برای محاسبه موارد زیر از این تفاوت تفاوت استفاده می کنیم.

شیب خط Secant بین (x = 3 ) و (x = 3. 1 ) ( ( delta x = 0. 1 )) است

شیب خط Secant بین (x = 3 ) و (x = 3. 01 ) ( ( delta x = 0. 01 ))

شیب خط Secant بین (x = 3 ) و (x = 3. 001 ) ( ( delta x = 0. 01 ))

به عنوان ( delta x to 0 text ) می بینیم که شیب خط secant بین ((3 ، f (3)) ) و ((3+ delta x ، f (3+ دلتا x) ) می شود

معادله خط که از نقطه ((3 ، f (3)) = (3 ، 1/3) ) عبور می کند و دارای شیب (-1/9 ) است

این معادله خط مماس در (x = 3 متن ) است که در زیر نشان داده شده است.

تمرین 4. 1. 4.

یک عبارت جبری را برای تفاوت تفاوت ( ds bigl (f (1+ delta x) -f (1) bigr)/ delta x ) پیدا کنید. ( ds f (x) = x^2-(1/x) متن<.>) بیان را تا حد امکان ساده کنید. سپس تعیین کنید که با نزدیک شدن ( Delta x ) چه اتفاقی می افتد. این مقدار (f '(1) متن است<.>)

تفاوت تفاوت برای (f (x) = x^2 - frac ):

شروع شروع frac amp = frac سمت چپ ((x + delta x)^2 - frac - چپ (x^2 - frac راست) راست) \ amp = frac سمت چپ (x^2 + 2x delta x + delta x^2 - frac - x^2 + frac راست) \ amp = frac سمت چپ (2x delta x + delta x^2 + frac راست) \ amp = 2x + delta x + frac پایان پایان

بنابراین ، در (x = 1 متن ) ما داریم

با در نظر گرفتن حد مجاز به عنوان ( دلتا x به 0 متن ) این را می یابیم

تمرین 4. 1. 5.

نمودار ( ds y = f (x) = x^3 ) را بین (x = 0 ) و (x = 1. 5 متن بکشید.<.>) شیب خط secant را بین (a) (x = 1 ) و (x = 1. 1 text ) (b) (x = 1 ) و (x = 1. 001 متن ) پیدا کنید.(ج) (x = 1 ) و (x = 1. 00001 متن<.>) سپس از جبر برای یافتن یک فرمول ساده برای شیب خط Secant بین (1 ) و (1+ Delta x متن استفاده کنید<.>) (از انبساط ( ds (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 متن استفاده کنید<.>)) تعیین کنید که چه اتفاقی می افتد به عنوان ( delta x ) به 0 نزدیک می شود ، و در نمودار شما از ( ds y = x^3 ) خط مستقیم را از طریق نقطه ((1،1) ) بکشید. شیب برابر با مقداری است که تازه پیدا کرده اید.

ما نمودار (y = f (x) = x^3 ) را در فاصله ([0،1. 5] ) در زیر ترسیم می کنیم.

شیب خط secant بین (x = 1 ) و (x = 1. 1 ) ( ( delta x = 0. 1 )) است

شیب خط Secant بین (x = 1 ) و (x = 1. 001 ) ( ( delta x = 0. 001 )) است

شیب خط Secant بین (x = 1 ) و (x = 1. 00001 ) ( ( delta x = 0. 00001 ))

ما اکنون تفاوت تفاوت را در (x = 1 متن ) ساده می کنیم

بنابراین ، به عنوان ( delta x to 0 text )

خط با شیب (3 ) که از نقطه ((1 ، f (1))) = (1،1) ) عبور می کند

این خط مماس به (f ) در (x = 1 text ) است

تمرین 4. 1. 6.

یک عبارت جبری را برای تفاوت تفاوت (f (x+ delta x) -f (x))/ delta x ) پیدا کنید وقتی (f (x) = mx+b text<.>) بیان را تا حد امکان ساده کنید. سپس تعیین کنید که با نزدیک شدن ( Delta x ) چه اتفاقی می افتد. این مقدار (f '(x) متن است<.>)

بگذارید (f (x) = mx+b text<.>) تفاوت تفاوت پس از آن است

تمرین 4. 1. 7.

دایره واحد را ترسیم کنید. در مورد رفتار شیب خط مماس در زوایای مختلف اطراف دایره بحث کنید. کدام عملکرد مثلثاتی شیب خط مماس را در یک زاویه ( theta text ) می دهد؟اشاره

ما نمودار زیر از دایره واحد و مقداری ( theta in [0 ، pi] text ) را در نظر می گیریم.

نقطه ((a ، b) ) سپس توسط (( cos ( theta) ، sin ( theta)) داده می شود.<.>) و بنابراین شیب خط که منشأ را به این نقطه وصل می کند

اکنون ، از آنجا که شیب خط مماس (M ) در نقطه ((a ، b) ) عمود بر شیب خط اتصال ((a ، b) ) به مبدا است ، بایددارند

این برای هر ( theta in [0 ، 2 pi] text<.>)

تمرین 4. 1. 8.

parabola ( ds y = x^2 text<.>) برای چه مقادیر (x ) روی پارابولا شیب خط مماس مثبت است؟منفی؟در مورد نمودار در نقطه (های) که علامت شیب از مثبت به منفی و برعکس تغییر می کند ، چه متوجه می شوید؟

We see that tangents lines which are tangent to the curve (y = x^) at points (x >0 ) شیب مثبت دارند ، و آن خطوط مماس که در نقاط (x lt 0 ) به منحنی مماس هستند ، شیب منفی دارند. ما همچنین می بینیم که خط مماس به (x = 0 ) دارای شیب صفر است و توجه داشته باشید که این مربوط به راس پارابولا است: در اینجا ، حداقل نقطه روی نمودار.

تمرین 4. 1. 9.

یک شی در یک خط مستقیم در حال مسافرت است تا موقعیت آن (یعنی فاصله از برخی از نقاط ثابت) توسط این جدول ارائه شود:

سرعت متوسط شیء را در فواصل زمانی بعدی پیدا کنید: ([0،1] text ) ([0،2] text ) ([0،3] text ) ([1، 2] text ) ([1،3] text ) ([2،3] متن<.>) اگر مجبور بودید سرعت را در (t = 2 ) فقط بر اساس این موارد حدس بزنید ، حدس می زنید؟

بگذارید (x ) مسافت طی شده در متر باشد و بگذارید (t ) زمان در ثانیه باشد. سپس میانگین سرعت شی در برخی از بازه های زمانی ( dfrac text است<.>) از این رو:

برای (t in [0،1] text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 10 ) m/s است.

برای (t in [0،2] text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 12. 5 ) m/s است.

برای (t in [0،3] text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 20 ) m/s است.

برای (t in [1،2] text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 15 ) m/s است.

برای (t in [1،3] text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 25 ) m/s است.

برای (t in [2،3] text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 35 ) m/s است.

ما حدس می زنیم که سرعت واقعی در (t = 2 ) بین 15 تا 35 متر بر ثانیه است.

تمرین 4. 1. 10.

بگذارید ( ds y = f (t) = t^2 text ) جایی که (t ) زمان در ثانیه است و (y ) فاصله در متر است که یک جسم در یک سیاره بی هوای خاص می افتدبشرنمودار این عملکرد را بین (t = 0 ) و (t = 3 متن بکشید<.>) یک جدول از میانگین سرعت شیء در حال سقوط بین (الف) 2 ثانیه و 3 ثانیه ، (ب) 2 ثانیه و 2. 1 ثانیه ، (ج) 2 ثانیه و 2. 01 ثانیه ، (د) 2 ثانیه و 2. 001 ثانیه تهیه کنید. سپس از جبر برای یافتن یک فرمول ساده برای میانگین سرعت بین زمان (2 ) و زمان (2+ Delta t متن استفاده کنید.<.>) (اگر جایگزین ( دلتا t = 1 ، 0. 1 ، 0. 01،0. 001 ) در این فرمول هستید ، باید دوباره پاسخ قطعات (a) - (d) را دریافت کنید.) در فرمول خود برای سرعت متوسط ()که باید به صورت ساده باشد) تعیین کنید که با نزدیک شدن به صفر ( دلتا t ) چه اتفاقی می افتد. این سرعت فوری است. سرانجام ، در نمودار خود از ( ds y = t^2 ) خط مستقیم را از طریق نقطه ((2،4) ) بکشید که شیب آن سرعت آنی است که شما فقط محاسبه کرده اید. البته باید خط مماس باشد.

نمودار (y = f (t) = t^2 ) در فاصله ([0،3] ) در زیر نشان داده شده است ، جایی که (y ) فاصله در متر یک شیء در حال سقوط است و (t ) زمان در ثانیه است.

سرعت متوسط شیء در حال سقوط توسط ( dfrac text داده می شود<.>) از این رو:

بین (t = 2 ) و (t = 3 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 5 ) m/s است.

بین (t = 2 ) و (t = 2. 1 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 4. 1 ) m/s است.

بین (t = 2 ) و (t = 2. 01 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 4. 01 ) m/s است.

بین (t = 2 ) و (t = 2. 001 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = 4. 001 ) m/s است.

فرمول ما برای سرعت متوسط بین (t = 2 ) و (t = 2+ delta t ) ساده است:

بنابراین ، سرعت آنی توسط

بنابراین در (t = 2 text ) سرعت 4 متر بر ثانیه است (توجه کنید که پاسخ های ما در (a)-(d) به این مقدار نزدیک می شوند). خطی که از نقطه ((2،4) ) عبور می کند و دارای شیب (4 ) است

و در زیر ترسیم شده است. این خط مماس به (y ) در (t = 2 متن است<.>)

تمرین 4. 1. 11.

اگر یک جسم از یک پنجره بلند 80 متری رها شود ، ارتفاع آن (y ) بالاتر از زمین در زمان (t ) ثانیه توسط فرمول ( ds y = f (t) = 80-4. 9 داده می شود. t^2 متن<.>) (در اینجا ما از مقاومت در برابر هوا غفلت می کنیم.) میانگین سرعت شیء در حال سقوط را بین (الف) 1 ثانیه و 1. 1 ثانیه ، (ب) 1 ثانیه و 1. 01 ثانیه ، (ج) 1 ثانیه و 1. 001 ثانیه پیدا کنید. اکنون از جبر استفاده کنید تا یک فرمول ساده برای سرعت متوسط شیء در حال سقوط بین 1 ثانیه و (1+ دلتا t ) ثانیه پیدا کنید. تعیین کنید که چه اتفاقی برای این سرعت متوسط می افتد زیرا ( Delta t ) به 0 می رسد. این سرعت آنی در زمان است (t = 1 ) ثانیه (منفی خواهد بود ، زیرا جسم در حال سقوط است).

بگذارید (y = f (t) = 80-4. 9t^2 ) ارتفاع در متر یک شیء در حال سقوط در بالای زمین در زمان (t ) ثانیه باشد.

سرعت متوسط شیء در حال سقوط توسط ( dfrac text داده می شود<.>) توجه کنید که (y (1) = 80-4. 9 = 75. 1 ) m. از این رو:

بین (t = 1 ) و (t = 1. 1 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = -10. 29 ) m/s است.

بین (t = 1 ) و (t = 1. 01 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = -9. 849 ) m/s است.

بین (t = 1 ) و (t = 1. 001 text ) سرعت متوسط ( dfrac = dfrac = -9. 8049 ) m/s است.

فرمول سرعت متوسط بین (t = 1 ) و (t = 1+ delta t ) را می توان ساده کرد:

بنابراین ، سرعت آنی توسط

بنابراین در (t = 1 متن ) سرع ت-9. 8 متر بر ثانیه است (توجه کنید که پاسخ های ما در (a) -(c) به این مقدار نزدیک می شوند).

تمرین 4. 1. 12.

شکل زیر اثر ویرانگر افتتاح یک کافی شاپ زنجیره ای جدید در یک کافه روستایی 3 نسل در یک شهر کوچک را نشان می دهد. درآمد کافی شاپ زنجیره ای در زمان (t ) (در ماه) توسط (f (t) ) میلیون دلار داده می شود ، در حالی که درآمد کافه روستایی در زمان (t ) توسط داده می شود(g (t) ) میلیون دلار. با دادن مقدار (t ) که در آن رویداد مشخص شده اتفاق افتاد ، به سؤالات زیر پاسخ دهید.

درآمد کافه روستایی با کمترین سرعت در حال کاهش است.

درآمد کافه روستایی با سریعترین نرخ در حال کاهش است.

درآمد فروشگاه Coffe Coffe برای اولین بار از کافه روستایی غلبه می کند.

درآمد کافی شاپ زنجیره ای با سریعترین سرعت در حال افزایش است.

تمرین 4. 1. 13.

عملکرد تقاضا برای لاستیک ها توسط

جایی که (p ) به دلار اندازه گیری می شود و (q ) در واحدهای هزار اندازه گیری می شود.

اگر مقدار مورد نیاز بین لاستیک (5000 ) و (5050 ) باشد ، میانگین تغییر در قیمت واحد تایر را پیدا کنید. بین لاستیک (5000 ) و (5010 ).

بیایید ابتدا تفاوت تفاوت را شکل داده و ساده کنیم.

بنابراین، وقتی (q = 5) برای (Delta q = 0. 05) و (0. 01 ext) در می یابیم که ضریب اختلاف برابر با (-2. 005) و (-2. 001 ext است.) به ترتیب. بنابراین، زمانی که مقدار لاستیک های درخواستی بین (5000) و (5050 ext) باشد، قیمت واحد تقریباً به ازای هر لاستیک 2. 00 دلار کاهش می یابد. و زمانی که مقدار لاستیک های درخواستی بین (5000) و (5010 ext) باشد، دوباره دریافت می کنیم که قیمت واحد تقریباً به ازای هر (1000) لاستیک در حال کاهش است.

اگر مقدار درخواستی (5000متن) باشد، نرخ تغییر قیمت واحد چقدر است.

ما (f'(x) = limlimits_left( -0. 2q-0. 1qDelta q-1<.>ight) = -0. 2q - 1 ext را پیدا کردیم<.>) بنابراین، وقتی مقدار درخواستی (5000 ext) باشد، قیمت واحد تایرها با (f'(5) = -2 ext تغییر می کند.