نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی

در این کتاب ارزشمند ، خصوصیات ریاضی اساسی نسبت طلایی و وقوع آن در ابعاد چهره های دو و سه بعدی با تقارن پنج برابر بحث شده است. علاوه بر این ، نسل سری فیبوناچی و سری فیبوناچی عمومی و ارتباط آنها با نسبت طلایی ارائه شده است. این مفاهیم برای جستجوی و به حداقل رساندن عملکرد در الگوریتم ها اعمال می شود. دنباله فیبوناچی به عنوان یک شبکه یک بعدی ، شبکه ای یک بعدی مشاهده می شود و این ایده ها به کاشی های دو و سه بعدی پنروز و مفهوم پیش بینی های ناسازگار گسترش می یابد. خصوصیات ساختاری بلورهای آپریودیک و رشد برخی از ارگانیسم های بیولوژیکی از نظر توالی فیبوناچی شرح داده شده است.

• خصوصیات اساسی نسبت طلایی
• مشکلات هندسی در دو بعد
• مشکلات هندسی در سه بعد
• اعداد فیبوناچی
• شماره های لوکاس و اعداد فیبوناچی تعمیم یافته
• بخش های ادامه و تقریبی منطقی
• قضیه های نمایندگی فیبوناچی تعمیم یافته
• الگوریتم های فاصله و جستجو بهینه
• پیش بینی های متناسب و ناسازگار
• کاشی کاری های Penrose
• فهرست نگاری
• کاربردهای بیولوژیکی
• ساخت پنتاگون معمولی
• شماره های 100 فیبوناچی و لوکاس اول
• روابط مربوط به نسبت طلایی و اعداد فیبوناچی عمومی

قیمت کتاب الکترونیکی به روز شده در تاریخ 03/10/2006

قسمت اول

• صفحات: i-vii

• مقدمه

• فهرست

معرفی

• صفحات: 1-6

• مستطیل های طلایی

• هنر

• هرم عالی

• Pi

خصوصیات اساسی نسبت طلایی

• صفحات: 7-13

نسبت طلایی در برخی از روابط بسیار اساسی شامل اعدادی است که از آن می توان بسیاری از خصوصیات آن را بدست آورد. یکی از اساسی ترین وقایع نسبت طلایی و یکی از جذاب ترین ، شامل خواص توالی های عددی است. یک دنباله عددی مجموعه ای از اعداد مرتب شده است که توسط یک الگوریتم به خوبی تعریف شده تولید می شود. یکی از ساده ترین روش های تولید یک دنباله عددی ، استفاده از یک یا چند مقدار بذر و یک رابطه جبران مناسب است ...

مشکلات هندسی در دو بعد

• صفحات: 15-21

نسبت طلایی نقش مهمی در ابعاد بسیاری از چهره های هندسی ، در دو بعد و سه بعد دارد. ساده ترین ظاهر τ در هندسه در دو شکل دو بعدی رخ می دهد ، و در اینجا است که میل نزدیک نسبت طلایی با تقارن پنج برابر برای اولین بار آشکار است. از نظر زیبایی شناختی دو بعدی ، چند ضلعی های معمولی هستند. این ارقام هستند که تمام لبه ها برابر هستند و تمام زوایای داخلی برابر و کمتر از 180 درجه هستند (به عنوان مثال Dunlap 1997 مراجعه کنید). ساده ترین این مثلث برابر با سه لبه است. به طور کلی یک N-Gon معمولی دارای لبه های N و زوایای داخلی است که توسط این رابطه ارائه می شود

مشکلات هندسی در سه بعد

• صفحات: 23-34

در دو بعد تعداد N-Gons معمولی با زوایای داخلی تعریف شده توسط Eq.(3. 1) بی نهایت است. در سه بعد ، چند قطب معمولی ممکن است به روشی مشابه تعریف شود. تمام صورت ها همان چند ضلعی معمولی هستند و هر راس محدب است (همانطور که از شکل خارج از شکل مشاهده می شود). دقیقاً پنج شکل از این دست وجود دارد و اینها به عنوان مواد جامد افلاطونی شناخته می شوند. شاید کنجکاو باشد که فقط پنج ماده جامد وجود دارد اما ممکن است اثبات ساده این واقعیت به روش زیر ارائه شود. هر صورت از چند ضلعی معمولی یک چند ضلعی معمولی با لبه های N است. از بحث در فصل قبل مشخص شده است که مقادیر N که مجاز هستند عدد صحیح هستند

اعداد فیبوناچی

• صفحات: 35-49

ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو د پیزا در حدود سال 1175 میلادی در پیزا متولد شد. وی معمولاً به عنوان فیبوناچی شناخته می شود که یک شکل کوتاه از Filius Bonaccio (پسر Bonaccio) است. پدر وی ، Bonaccio ، یک بازرس گمرک در شهر Bugia در سواحل شمالی آفریقا (در حال حاضر بوگی در الجزایر) بود و در نتیجه ، فیبوناچی توسط محمدان باراری تحصیل کرد. او به سیستم عربی اعداد آموخته شد و در اوایل قرن سیزدهم به ایتالیا بازگشت تا کتاب Liber Abaci (کتاب Abacus) را در سال 1202 منتشر کند (لئوناردو دی پیزا 1857). این کتاب سیستم عربی اعداد را به اروپا معرفی کرد و مسئولیت شهرت فیبوناچی را به عنوان موفق ترین ریاضیدان قرون وسطی بر عهده دارد. این کتاب همچنین مشکلی در رابطه با فرزندان یک جفت خرگوش است که اساس توالی فیبوناچی (یا سری فیبوناچی) است. با این حال ، ادوارد لوکاس ، که سهم آن در این زمینه از ریاضیات در فصل بعد به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت ، که توالی فیبوناچی را در اواخر قرن نوزدهم کشف کرد و آن را به درستی به بنیانگذار اصلی خود نسبت داد ...

شماره های لوکاس و اعداد فیبوناچی تعمیم یافته

• صفحات: 51-61

بحث در فصل قبل رابطه نسبت طلایی به دنباله افزودنی معروف به دنباله فیبوناچی را نشان داد. این توسط رابطه بازگشت افزودنی (معادله (2. 1)) با استفاده از مقادیر دانه f ایجاد می شود₀= 0 و F₁= 1. تعداد زیادی توالی افزودنی دیگر را می توان با استفاده از مقادیر مختلف بذر تشکیل داد. یکی ، توسط Eq.(2. 14) ، قبلاً مورد بحث قرار گرفته است. در فصل حاضر برخی از امکانات اضافی برای مقادیر بذر عدد صحیح در نظر گرفته می شود. با استفاده از اعداد صحیح که هرگونه اصطلاح متوالی در یک توالی فیبوناچی به عنوان مقادیر بذر (به عنوان مثال 1،2 ؛ 2،3 ؛ 3،5 و غیره) هستند ، صرفاً با مقادیر شاخص های تغییر یافته ، یک توالی فیبوناچی را به دست می آورند. با استفاده از مقادیر بذر که چند برابر از اعداد فیبوناچی هستند (به عنوان مثال 0،2 ؛ 0،3 ؛ 2،2 ؛ 2،4 ؛ 6،10 و غیره) صرفاً یک توالی فیبوناچی را با تمام اصطلاحات ضرب شده توسط یک عامل ثابت تولید می کنند. بیشتر آنچه در فصل قبل مورد بحث قرار گرفته است ، در مورد چنین توالی ها اعمال می شود ، به ویژه این واقعیت که نسبت F_n/F_n-1در حد نیت بزرگ به τ نزدیک می شود. با این حال ، انتخاب های خاصی از مقادیر بذر توالی های افزودنی را ارائه می دهد که کاملاً متفاوت از توالی فیبوناچی هستند. یکی از این امکان ها در اواخر قرن نوزدهم توسط ریاضیدان فرانسوی ادوارد لوکاس که نتایج این تحقیقات را در سال 1877 منتشر کرده بود ، مورد بررسی قرار گرفت. او کوچکترین مقادیر بذر بعدی را در نظر گرفت₀= 2 و ل₁= 1. این مقادیر توالی افزودنی را تولید می کنند

بحث در مورد بحث در مورد Eq.(2. 3) ، دنباله لوکاس می تواند به شاخص های منفی نیز افزایش یابد تا عملکرد…

بخش های ادامه و تقریبی منطقی

• صفحات: 63-70

هر شماره غیر منطقی ، من ، می تواند از نظر تعداد نامحدود اعداد صحیح بیان شود ، الف₀ , a₁ , a₂… در فرم …

قضیه های نمایندگی فیبوناچی تعمیم یافته

• صفحات: 71-77

قضیه های بازنمایی مورد بحث در این فصل بر اساس این واقعیت است که یک توالی فیبوناچی تعمیم یافته یک مجموعه کامل را تشکیل می دهد. گفته می شود که اگر هر یک از عدد صحیح مثبت به عنوان مجموع تعداد محدودی از اصطلاحات در دنباله بیان شود ، دنباله ای از اعداد صحیح کامل است و هر اصطلاح ، حداکثر یک بار استفاده می شود. قبل از برخورد با توالی های فیبوناچی عمومی از این نظر ، یک مجموعه کامل که معمولاً شناخته شده است ، نمونه ای آموزنده از قضایای نمایندگی را ارائه می دهد ...

الگوریتم های فاصله و جستجو بهینه

• صفحات: 79-85

یک خط شماره ، مثلاً واحد 1 واحد از [0،1) ، من با قرار دادن یک نقطه در خط در یک مکان تعیین شده با مقدار یک عدد واقعی ، به دو بخش تقسیم می شود. اصطلاحات [0،1) یک خط (یا مجموعه) را نشان می دهد که شامل نقطه 0 است اما نقطه 1 را حذف می کند. اگر R ≥ 1 ممکن است با استفاده از قسمت کسری R ، Fract (R) روی خط ترسیم شود. این خط ممکن است با ترسیم مقادیر N داده شده توسط بخش های N+L تقسیم شود

اگر R یک عدد منطقی باشد ، تعداد محدودی از نقاط مجزا توسط Eq تولید می شود.(9. 1) حتی در حد N →

پیش بینی های متناسب و ناسازگار

• صفحات: 87-95

در فصل 5 تمایز بین یک دنباله دوره ای مانند Eq.(5. 17) و یک دنباله شبه از نظر معادله.(5. 16) مورد بحث قرار گرفت. توالی های داده شده در این معادلات ممکن است با نشان دادن A توسط یک بخش خط طولانی و A B توسط یک بخش خط کوتاه تر همانطور که در شکل 10. 1 نشان داده شده است ، به صورت گرافیکی یک بعدی نمایش داده شود. اگر از مجموعه ای از نقاط برای تقسیم یک خط به بخش های طولانی و کوتاه در یک ترتیب تناوبی یا در یک ترتیب شبه پیروز استفاده می شود ، این نقاط یا یک آرایه دوره ای یا شیاطودیک تشکیل می دهند (که گاهی اوقات یک شبکه نامیده می شود). بنابراین انجیر10. 1a و 10. 1b ممکن است به ترتیب به عنوان یک تناوب دوره ای و شبه پریودیک یک بعدی گفته شود. ساده ترین نوع آرایه تناوبی در یک بعد ، دنباله ای از نقاط مساوی فاصله است که در شکل 10. 2a نشان داده شده است. این ممکن است به عنوان دنباله ای از بخش های خط با طول مساوی مشاهده شود ...

کاشی کاری های Penrose

• صفحات: 97-109

ایده های مربوط به تولید ساختارهای quasiperiodic همانطور که در فصل قبل توضیح داده شده است ممکن است به ابعاد بالاتر گسترش یابد. در فصل حاضر مفهوم یک شبکه فیبوناچی دو بعدی مورد بررسی قرار گرفته است. از نظر تاریخی ، اولین کار دقیق روی شبکه های دو بعدی فیبوناچی در سال 1974 توسط راجر پنروز (1974) منتشر شد ، اگرچه ایده های خاصی در مورد این نوع ساختارها سالهاست که وجود دارد. با این حال ، Penrose بود که برای اولین بار از مفاهیم ریاضی موجود در این شبکه های فیبوناچی دو بعدی مورد مطالعه قرار گرفت و به درستی قدردانی کرد و از این رو مناسب است که به طور کلی از آنها به عنوان کاشی های Penrose یاد شود. به طور کلی از کلمه کاشی کاری برای توصیف ساختاری که از یک یا چند نوع سلول یا کاشی تشکیل شده است استفاده می شود که می تواند برای پر کردن فضا استفاده شود. فکر کردن در مورد کاشی کاری در دو بعد ، مانند ترتیب کاشی های کف ، متداول است ، اگرچه به معنای ریاضی مفهوم در هر تعداد ابعاد معتبر است. در این حالت کاشی کاری شامل تعداد محدودی از چهره های مختلف دو بعدی است که می تواند برای پوشاندن هواپیما بدون همپوشانی استفاده شود. همانطور که انتظار می رفت ، کاشی های Penrose به جای نظم دوره ای ، شبه از نظر دوره ای را نشان می دهند. ادبیات گسترده ای در مورد هر دو کاشی های دوره ای و شبه آمیز وجود دارد و بسیاری از خصوصیات این ساختارها فراتر از محدوده کتاب حاضر است و بحث حاضر فقط موضوعاتی را که مربوط به نسبت طلایی هستند ، پوشش می دهد. با این حال ، یک مقدمه اساسی برای ریاضیات کاشی کاری ها ممکن است در Grundbaum و Shepherd (1987) و در Dunlap (1990) یافت شود ...

فهرست نگاری

• صفحات: 111-121

گسترش مفاهیم مورد بحث در فصل قبل به سه بعد ، ساختار منحصر به فرد یک کلاس تازه کشف شده از مواد فلزی را شرح می دهد. قبل از بحث در مورد ساختار این مواد جدید ، در نظر گرفتن مدل های توصیف ساختار میکروسکوپی اتمها در مواد معمولی مفید است ...